M2 Mathématiques Fondamentales M2 in Fundamental Mathematics

Intervenants : Vlada Limic, Lionel Lenotre, et Carlo Bellingeri Lecturers: Vlada Limic, Lionel Lenotre, and Carlo Bellingeri

Programme Syllabus

Le programme s'articule autour de deux grands volets complémentaires : The course is divided into two complementary parts:

1. Du mouvement brownien aux équations stochastiques :From Brownian motion to stochastic equations: intégrales, formules et changements de mesure. integrals, formulas, and change of measure.
   • Construction et cadres de base : trajectoires du mouvement brownien, filtrations continues.Foundations: Brownian paths, continuous filtrations.
   • Intégrale stochastique d'Itô et schémas numériques (Euler).Itô stochastic integral and numerical schemes (Euler).
   • Formule d'Itô et applications : calcul différentiel stochastique.Itô's formula and applications to stochastic differential calculus.
   • Équations différentielles stochastiques (EDS).Stochastic differential equations (SDEs).
   • Thèmes avancés : temps local, formule d'Itô-Tanaka, liens avec les équations paraboliques.Advanced topics: local time, Itô–Tanaka formula, links with parabolic PDEs.
2. Martingales, convergence faible et trajectoires browniennes.Martingales, weak convergence, and Brownian paths.
   • Martingales discrètes et passage au continu (Doob, arrêt optionnel).Discrete martingales and continuous limits (Doob, optional stopping).
   • Convergence en loi (Portmanteau, Prokhorov, Donsker).Convergence in law (Portmanteau, Prokhorov, Donsker).
   • Propriétés des trajectoires browniennes et pont brownien.Properties of Brownian paths and Brownian bridges.
   • Changements de mesure (Girsanov).Change of measure (Girsanov).

Intervenants : Jean Bérard et Xiaolin Zeng Lecturers: Jean Bérard and Xiaolin Zeng

La mécanique statistique vise à expliquer les phénomènes physiques produits par un grand nombre de particules en interaction (transitions de phase, magnétisation, etc.). Statistical mechanics explains physical phenomena produced by many interacting particles (phase transitions, magnetization, etc.).

Programme Syllabus

• Aspects statiques (systèmes à l'équilibre) :Static aspects (equilibrium systems): transition de phase et modèle de Lenz-Ising. Introduction aux concepts : énergie libre, fonction de partition, magnétisation, longueur de corrélation.Phase transitions and the Lenz–Ising model. Introduction to concepts: free energy, partition function, magnetization, correlation length.
• Aspects dynamiques (systèmes hors équilibre) :Dynamic aspects (out-of-equilibrium systems): étude des dynamiques markoviennes (dynamique de Langevin, de Glauber, systèmes de particules). Discussion de la convergence vers l'équilibre.Markovian dynamics (Langevin, Glauber, interacting particle systems). Convergence to equilibrium.

Intervenants : Barbara Dembin et Laure Marêché Lecturers: Barbara Dembin and Laure Marêché

Introduction à des techniques analytiques et probabilistes variées, illustrées principalement à travers l'étude du modèle de percolation de premier passage. Introduction to various analytic and probabilistic techniques, mainly through the study of the first-passage percolation model.

Notions explorées Topics covered

• Sous-additivité :Subadditivity: principe essentiel pour démontrer l'existence de constantes limites (théorème ergodique sous-additif).key principle to prove the existence of limiting constants (subadditive ergodic theorem).
• Concentration de mesure :Concentration of measure: quantifier la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de sa moyenne.quantifying the probability that a random variable deviates from its mean.
• Théorie des grandes déviations :Large deviation theory: estimation de la probabilité d'événements rares.estimating probabilities of rare events.
• Sensibilité au bruit :Noise sensitivity: évaluer l'influence de petites perturbations sur une fonction d'un grand nombre de variables (lien avec la variance et les transitions de phase).evaluating how small perturbations affect functions of many variables (links with variance and phase transitions).

Intervenants : Pierre-Olivier Goffard et Denis Villemonais Lecturers: Pierre-Olivier Goffard and Denis Villemonais

Partie 1 : Systèmes de type Blockchain Part 1: Blockchain-style systems

Analyse mathématique de la sécurité, de la décentralisation et de l'efficacité. Mathematical analysis of security, decentralization, and efficiency.

• Concepts fondamentaux et protocoles de consensus (preuve de travail, preuve d'enjeu).Key concepts and consensus protocols (proof of work, proof of stake).
• Sécurité : marches aléatoires, chaînes de Markov, vulnérabilités (double dépense).Security: random walks, Markov chains, vulnerabilities (double spending).
• Décentralisation : modèles d'urnes, théorie du risque.Decentralization: urn models, risk theory.
• Efficacité : modèles de files d'attente.Efficiency: queueing models.
• Cycles de rendement (Bitcoin) via chaînes de Markov cachées.Profitability cycles (Bitcoin) via hidden Markov chains.

Partie 2 : Dynamiques de population Part 2: Population dynamics

Modélisation de l'évolution de populations dans le temps. Modeling how populations evolve over time.

• Modèles de naissance et mort (chaînes de Markov en temps continu).Birth-and-death models (continuous-time Markov chains).
• Limites de grande population et approximations déterministes (Lotka-Volterra, SDEs).Large-population limits and deterministic approximations (Lotka–Volterra, SDEs).

Intervenants : Nicolas Juillet, Jean Bérard, Denis Villemonais Lecturers: Nicolas Juillet, Jean Bérard, Denis Villemonais

1. Transport optimal (N. Juillet, 30h) 1. Optimal transport (N. Juillet, 30h)

Problème de Monge et relaxation de Kantorovich. Déplacement d'un "tas" \(\mu \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)\) vers un "trou" \(\nu\). Monge’s problem and Kantorovich relaxation. Moving a “pile” \(\mu \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)\) into a “hole” \(\nu\).

• Existence et unicité des solutions, dualité, monotonie cyclique.Existence/uniqueness, duality, cyclic monotonicity.
• Distances de Wasserstein et théorèmes limites.Wasserstein distances and limit theorems.
• Thèmes actuels : transport entropique (Sinkhorn), transport martingale, barycentre de Wasserstein.Current topics: entropic transport (Sinkhorn), martingale transport, Wasserstein barycenters.

2. Ordres stochastiques (J. Bérard, 10h) 2. Stochastic orders (J. Bérard, 10h)

Notions de comparaison entre mesures de probabilité (domination stochastique, ordre convexe, ordre sur-modulaire). Comparison tools for probability measures (stochastic dominance, convex order, supermodular order).

3. Convergence en distance de Wasserstein (D. Villemonais, 10h) 3. Convergence in Wasserstein distance (D. Villemonais, 10h)

Vitesse et mécanismes de convergence de processus de Markov vers leur mesure stationnaire en utilisant les distances \(W_1\) et \(W_2\). Rates and mechanisms for Markov processes converging to equilibrium using \(W_1\) and \(W_2\) distances.